Das Verhalten zu undendlich gibt an, wie der y-Wert (f(x)) verläuft, wenn x gegen plus oder minus unendlich läuft.
Beispiel:
Bestimmen das Verhalten x gegen ±∞ bei der Funktion f(x) = x².
x → + ∞ f(x) → + ∞
x → – ∞ f(x) → + ∞
Aufgabe:
Die Steigung m ist -1 und der Punkt P hat folgende Koordinaten(0/1,5). Bestimme die Geradengleichung
1. Möglichkeit mithilfe der Punkt-Steigungsform:
f(x) = m(x – x1) + y1
Es wird x1 und y1 mit den Koordinaten 0 und 1,5 des Punktes P ersetzte. Außerdem wird m mit -1 ersetzte.
f(x) = m(x – x1) + y1
f(x) = -1(x – 0) + 1,5
f(x) = -x + 1,5
2. Möglichkeit mithilfe der Normalform
y = mx + b
Es wird x und y mit den Koordinaten 0 und 1,5 des Punktes P ersetzte. Außerdem wird m mit -1 ersetzte. Danach wird nach b hin aufgelöst.
y = mx + b
1,5 = -1 × 0 + b
b = 1,5
Jetzt kann für b 1,5 und m -1 in die Normalform eingesetzt werde.
y = mx + b
y = -x + 1,5
Aufgabe: Berechnung der Funktion, wenn zwei Punkte gegeben sind: P(0/1,5) Q(1,5/0).
Der erste Wert eines Punktes ist immer der x-Wert.
Der zweite Wert eines Punktes ist der y-Wert.
1. Möglichkeit mithilfe der Punkt-Steigungsform:
Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Dies macht man mit der Steigungsformel, indem man die Werte P(0/1,5) = (x1/y1) und Q(1,5/0)=(x2/y2) in die Steigungsformel einsetzt.
Steigungsformel:
m = (y2 – y1 ):(x2 – x1)
m = (0 – 1,5):(1,5-0)
m = -1
Die Steigung muss in Punkt-Steigungsform eingesetzt werden, um die Geradengeleichung zu erhalten. Zudem auch der Punkt P oder Q.
Punkt-Steigungsform mit Punkt P:
f(x) = m(x – x1) + y1
f(x) = -1(x – 0) + 1,5
f(x) = -x + 0 + 1,5
f(x) = -x + 1,5
2. Möglichkeit mithilfe der Normalform
y = mx + b
Der Werte des Punktes P werden für x und y in die Normalform eingesetzt und nach b aufgelöst
y = mx + b
1,5 = m × 0 + b
b = 1,5
Jetzt ersetzt man x und y in der Normalform mit den x- und y-Werte des Punktes Q
y = mx + b
0 = m × 1,5 + b
Nun ersetzt man b durch 1,5, da man dies vorher errchenet hat und löst nach m hin auf
0 = m × 1,5 + b
0 = m × 1,5 + 1,5
0 = 1,5m + 1,5 I :1,5
0 = 1m + 1 I -1
m = -1
Jetzt kann für m in Normalform -1 und für b 1,5 eingesetzt werden. Das Ergebnis ist die Geradengleichung
y = mx + b
y = -x + 1,5
Aufgabe: Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen folgender Funktion f(x) = -x + 1,5.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden Nullstellen(NS) genannt. Man erhält die Nullstellen, indem man für f(x) 0 einsetzt und nach x hin auflöst.
f(x) = -x + 1,5
0 = -x + 1,5 I +x
x = 1,5
Die Nullstelle laute NS(1,5/0).
Den Schnittpunkt mit der y-Achse(Sy) erhält man, indem man für x 0 einsetzt und nach f(x) hin auflöst.
f(x) = -x + 1,5
f(x) = -0 + 1,5
f(x) = 1,5
Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet Sy(0/1,5).
Tangenten sind Geraden , die eine Kurve an einem Punkt berühren.
An diesem Punkt hat die Kurve und die Tangente die gleiche Steigung.
Formel zum Aufstellen einer Tangentengleichung:
y = f ‘(x1) × (x – x1) + f(x1) wird aus der Punktsteigungsform hergeleitet
y = m × (x – x1) + y1
Da die 1. Ableitung der Steigung entspricht kann m durch die 1. Ableitung ersetzt werden. f(x1) bedeutet, dass dies der y-Wert von x1ist, somit ist f(x1) das Gleiche wie y1.
Beispiel:
Bestimme die Tangente der Funktion f(x) = x4 – 5x² + 5 am Punkt P (0,913/1,528)
Zuerst muss die 1. Ableitung von f(x) gebildet werden.
f '(x) = 4x³ – 10x
Nun muss die Ableitung und die Funktion f(x) in die Tangentengelichung eingesetzte werden.
y = f ‘(x1) × (x – x1) + f(x1)
y = 4x1³ – 10x1 × (x – x1) + x14 – 5x1² + 5 x1 = 0,91
y = 4 × 0,91³ – 10 × 0,91 × (x – 0,91) + 0,914 – 5 × 0,91² + 5
y = -6,09 × (x – 0,91) +1,55
y = -6,09x + 7,09
Die Tangentengeleichung lautet: y = -6,09x + 7,09.
Ableitungen werden dazu benötigt, um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu bestimmen. Dies wird unter dem Thema Kurvendiskussion näher beschrieben. Zudem können mit Ableitungen Tangentengelichungen aufgestellt werden, mehr dazu im Bereich Tangentengleichungen aufstellen.
Beim Ableiten verringert man die Funktion um einen Grad, dass heißt aus einer Funktion 3. Grades wird ein 2. Grades.
Der Exponent(Hochzahl) des Terms( Term ist z.B. x³) wird vor den Term geschrieben. Gleichzeitig wird die Hochzahl um 1 verringert. f(x) wird nach dem 1. Ableiten so geschrieben f'(x). Nach dem 2. Ableiten wird es so geschrieben f''(x). Nach dem 3. Ableiten wird es so geschrieben f'''(x). Es wird nicht öfter als dreimal abgeleitet.
Beispiel:
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) =3×2x = 6x
f'''(x) = 6
Befindet sich ein oder mehrere plus oder minus in der Funktion, muss jeder Term einzeln abgeleitet werden.
Beispiel:
f(x) = 4x4 +2x³
f'(x) =4×4x³+2×3x²
f'(x) =16x³+6x²
Unter konstanten Faktoren versteht man Zahlen die kein x haben z.B -1,-0,5,3… Alle Parameter z.B. t sind konstanterFaktor, da sie für eine Zahl stehen. Diese konstanten Faktoren fallen beim Ableiten weg.
Beispiel 1:
f(x) = x³+2
f'(x) = 3x²
Beispiel: 2
f(x) = 4x³+3t+4
f'(x) = 4×3x² = 12x²
Die Produktregel wird nur benutzt, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.
f(x) = u(x)×v(x) u(x) und v(x) sind Funktionen(Fkt.)
f'(x) = u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x) da dass nicht jeder auf Anhieb versteht erkläre ich es ausführlicher
f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
f'(x) = die abgeleitete Fkt u(x) wird × die unabgeleitete Fkt v(x) + die unabgeleitete Fkt u(x) × die abgeleitete Fkt v(x) gerechnet
f(x) = x ×(x²+4)
f'(x) = 1 × x +(x²+4) × 2x
f(x) = (x³+x²)×(x²-6x)
f'(x) = (3x²+2x) × (x²-6x) + (x³+x²) × (2x-6)
f'(x) = (3x4-18x³+2x³-12x²) + (2x4-6x³+2x³-6x²)
f'(x) = 3x4-16x³-12x²+2x4-6x³+2x³-6x²
f'(x) = 5x4-20x³-18x²
Die Kettenregel wird benutzt, wenn in einer Klammer ein x steht und gleichzeitig die Klammer außerhalb eine Hochzahl hat. Zudem wird die Kettenregel bei e-Funktion, sinus-, cosinus-Funktionen verwendet.Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet und vor die gesamte Ableitungsfunktion geschrieben. Danach wird die innere Funktion abgeleitet und mit der äußeren Ableitung multipliziert.
f(x) = (3x²+8)³
Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht (hier die Hochzahl 3). Das wird so abgeleitet: f '(x) = 3(3x²+8)².
Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht( hier die (3x²+8). So sieht es abgeleitet aus: f '(x) = 6x.
Danach wird die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert.
f '(x)=6x × 3(3x²+8)²
f '(x)=18x(3x²+8)²
Die Monotonie sagt aus, ob die Funktion in einem Bereich steigt oder fällt.
Ist f '(x) ≤ 0 ist die Funktion monoton fallend.
Ist f '(x) ≥ 0 ist die Funktion monoton steigend.
Ist f '(x) < 0 ist die Funktion streng monoton fallend.
Ist f '(x) > 0 ist die Funktion streng monoton steigend.
Bei der strengen Monotonie sind Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ausgeschlossen.
Beispiel 1:
Bestimme die Monotonie und die strenge Monotonie von f(x) = x² im x-Bereich [-4;4]
Im Bereich [-4;0] ist f '(x) ≤ 0 somit ist die Funktion monoton fallend.
Im Bereich [0;4] ist f '(x) ≥ 0 somit ist die Funktion monoton steigend.
Im Bereich [-4;0[ ist f '(x) < 0 somit ist die Funktion streng monoton fallend.
Im Bereich ]0;4] ist f '(x) > 0 somit ist die Funktion streng monoton steigend.
Die Zahlenmenge bestimmt bei Funktionen, welche Zahlen als Ergebnis möglich sind. Die Zahlenmenge wird immer bei Definitionsmengen angegeben. Befindet sich ein Sternchen hinter der Zahlenmenge, so wird die 0 als mögliches Ergebnis ausgeschlossen.
Natürliche Zahlen N
Natürliche Zahlen sind positve ganze Zahlen.
N = { 0, 1, 2, 3 …}
Ganze Zahlen Z
Ganze Zahlen umfassen sowohl die positiven ganzen Zahlen, als auch die negativen ganzen Zahlen.
Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}
Rationale Zahlen R
Rationale Zahlen sind die Zahlen, welche als Bruch dargestell werden können.
Q = {… – ¼…½…}
Der Zähler muss eine positiv oder negative Ganzezahl sein. Das Gleiche gilt für der Nenner, jedoch darf der Nenner nicht 0 sein.
Reelle Zahlen
Reelle Zahlen sind alle rationalen Zahlen und irrational Zahlen wie z. B. Wurzeln, e und Π.
R = {…-¼…Π…}
Komplexe Zahlen C
Komplexe Zahlen sind alle irrationale Zahlen plus die Zahl komplexe Zahl i. Diese wird dazu benötigt um das Ziehen von negativen Wurzeln darzustellen.