Tangentengleichung aufstellen

Tangentengleichung aufstellen

Tangenten sind Geraden , die eine Kurve an einem Punkt berühren. 

An diesem Punkt hat die Kurve und die Tangente die gleiche Steigung.

Formel zum Aufstellen einer Tangentengleichung:

y = f ‘(x₁) × (x – x₁) + f(x₁)    wird aus der Punktsteigungsform hergeleitet

y =    m    × (x – x₁) + y₁

Da die 1. Ableitung  der Steigung entspricht kann m durch die 1. Ableitung ersetzt werden. f(x₁) bedeutet, dass dies der y-Wert von x₁ist, somit ist f(x₁) das Gleiche wie y₁.

Beispiel:

Bestimme die Tangente der Funktion f(x) = x⁴ – 5x² + 5 am Punkt P (0,913/1,528)

Zuerst muss die 1. Ableitung von f(x) gebildet werden. 

f '(x) = 4x³ – 10x

Nun muss die Ableitung und die Funktion f(x) in die Tangentengelichung eingesetzte werden.

y = f ‘(x₁) × (x – x₁) + f(x₁) 

y = 4x₁³ – 10x₁ × (x – x₁) + x₁⁴ – 5x₁² + 5                      x₁ = 0,91

y = 4 × 0,91³ – 10 × 0,91 × (x – 0,91) + 0,91⁴ – 5 × 0,91² + 5  

y = -6,09 × (x – 0,91) +1,55

y = -6,09x + 7,09

Die Tangentengeleichung lautet: y = -6,09x + 7,09.