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Autor: kevin

  • Satz des Pythagoras Aufgaben, Formel, Erklärung

    Satz des Pythagoras

     

    Der Satz des Pythagoras gehört wohl zu den Dingen, die jeder Schüler in seiner Schullaufbahn einmal kennenlernt, wir beschäftigen uns in diesem Artikel mit dem Satz des Pythagoras.

     

    Satz des Pythagoras Vorraussetzungen

    Der Satz des Pythagoras kann nur in Dreiecken verwendet werden, in dem es einen rechten Winkel gibt, andernfalls ist es nicht möglich!

     

    Satz des Pythagoras Verwendung

    Die 2 Seiten, die den rechten Winkel einschliessen, nennt man Katheten, die längste Seite ist die Hypotenuse

    In unseren Beispielen sind a und b jeweils die Katheten und c die Hypotenuse.

     

    Der Satz des Pythagoras besagt:  a2 + b2 = c2

     

    Satz des Pythagoras Beispiele

    1.) a=4cm, b=5cm, c=???

    Lösung: 4^2+5^2 = c^2

    c = Wurzel aus 41

     

    2.) a = 2cm, c=4cm

    2^2+b = 4^2

    4 + b^2 = 16 /-4

    12 = b^2

    b = Wurzel aus 12

  • Verhalten gegen unendlich bestimmen Erklärung

    Verhalten gegen unendlich

     

    Das Verhalten zu undendlich gibt an, wie der y-Wert (f(x)) verläuft, wenn x gegen plus oder minus unendlich läuft.

    Beispiel:

    Bestimmen das Verhalten x gegen ±∞ bei der Funktion f(x) = x².

    verhalten gegen unendlich

     

     

    x → + ∞                    f(x) → + ∞          

    x → – ∞                     f(x) → + ∞

     

  • Geradengleichung aus Punkt und Steigung aufstellen

    Aufgabe:

     

    Die Steigung m ist -1 und der Punkt P  hat folgende Koordinaten(0/1,5). Bestimme die Geradengleichung

     

    1. Möglichkeit mithilfe der Punkt-Steigungsform:

     

    f(x) = m(x – x1) + y1

    Es wird  x1 und  y1 mit den Koordinaten 0 und 1,5 des Punktes P ersetzte. Außerdem wird m mit -1 ersetzte.

    f(x) = m(x – x1) + y1

    f(x) = -1(x – 0) + 1,5

    f(x) = -x + 1,5

     

    2. Möglichkeit mithilfe der Normalform

     

    y = mx + b

    Es wird  x und  y mit den Koordinaten 0 und 1,5 des Punktes P ersetzte. Außerdem wird m mit -1 ersetzte. Danach wird nach b hin aufgelöst.

    y = mx + b

    1,5 = -1 × 0 + b

    b = 1,5

    Jetzt kann für b 1,5 und m -1 in die Normalform eingesetzt werde.

    y = mx + b

    y = -x + 1,5

  • Geradengleichung aus 2 Punkten aufstellen

    Aufgabe: Berechnung der Funktion, wenn zwei Punkte gegeben sind: P(0/1,5) Q(1,5/0).

     

    Der erste Wert eines Punktes ist immer der x-Wert.

    Der zweite Wert eines Punktes ist der y-Wert.

     

     

    1. Möglichkeit mithilfe der Punkt-Steigungsform:

     

    Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Dies macht man mit der Steigungsformel, indem man die Werte P(0/1,5) = (x1/y1) und Q(1,5/0)=(x2/y2) in die Steigungsformel einsetzt.

    Steigungsformel:

    m = (y2 – y1 ):(x2 – x1)

    m = (0 – 1,5):(1,5-0)

    m = -1

     

    Die Steigung muss in Punkt-Steigungsform eingesetzt werden, um die Geradengeleichung zu erhalten. Zudem auch der Punkt P oder Q.

    Punkt-Steigungsform mit Punkt P:

    f(x) = m(x – x1) + y1

    f(x) = -1(x – 0) + 1,5

    f(x) = -x + 0 + 1,5

    f(x) = -x + 1,5

     

    2. Möglichkeit mithilfe der Normalform

     

    y = mx + b

     

    Der Werte des Punktes P werden für x und y in die Normalform eingesetzt und nach b aufgelöst

    y = mx + b

    1,5 = m × 0 + b

    b = 1,5

    Jetzt ersetzt man x und y in der Normalform mit den x- und y-Werte des Punktes Q

    y = mx + b

    0 = m × 1,5 + b

    Nun ersetzt man b durch 1,5, da man dies vorher errchenet hat und löst nach m hin auf

    0 = m × 1,5 + b

    0 = m × 1,5 + 1,5

    0 = 1,5m + 1,5         I :1,5

    0 = 1m + 1              I -1

    m = -1

    Jetzt kann für m in Normalform -1 und für b 1,5 eingesetzt werden. Das Ergebnis ist die Geradengleichung

    y = mx + b

    y = -x + 1,5

  • Schnittpunkte einer Gerade finden

    Schnittpunkte Gerade

     

    Aufgabe: Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen folgender Funktion f(x) = -x + 1,5.

     

    Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden Nullstellen(NS) genannt. Man erhält die Nullstellen, indem man für f(x) 0 einsetzt und nach x hin auflöst.

    f(x) = -x + 1,5

    0 = -x + 1,5           I +x

    x = 1,5

     

    Die Nullstelle laute NS(1,5/0).

     

    Den Schnittpunkt mit der y-Achse(Sy) erhält man, indem man für x 0 einsetzt und nach f(x) hin auflöst.

    f(x) = -x + 1,5

    f(x) = -0 + 1,5

    f(x) = 1,5

     

    Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet Sy(0/1,5).

  • Tangentengleichung aufstellen

    Tangentengleichung aufstellen

     

    Tangenten sind Geraden , die eine Kurve an einem Punkt berühren. 

    An diesem Punkt hat die Kurve und die Tangente die gleiche Steigung.

     

    Formel zum Aufstellen einer Tangentengleichung:

     

    y = f ‘(x1) × (x – x1) + f(x1)    wird aus der Punktsteigungsform hergeleitet

    y =    m    × (x – x1) + y1

     

    Da die 1. Ableitung  der Steigung entspricht kann m durch die 1. Ableitung ersetzt werden. f(x1) bedeutet, dass dies der y-Wert von x1ist, somit ist f(x1) das Gleiche wie y1.

     

    Beispiel:

     

    Bestimme die Tangente der Funktion f(x) = x4 – 5x² + 5 am Punkt P (0,913/1,528)

    Zuerst muss die 1. Ableitung von f(x) gebildet werden. 

    f '(x) = 4x³ – 10x

    Nun muss die Ableitung und die Funktion f(x) in die Tangentengelichung eingesetzte werden.

     

    y = f ‘(x1) × (x – x1) + f(x1) 

    y = 4x1³ – 10x1 × (x – x1) + x14 – 5x1² + 5                      x1 = 0,91

    y = 4 × 0,91³ – 10 × 0,91 × (x – 0,91) + 0,914 – 5 × 0,91² + 5  

    y = -6,09 × (x – 0,91) +1,55

    y = -6,09x + 7,09

     

    Die Tangentengeleichung lautet: y = -6,09x + 7,09.

  • Ableitung: Ableiten von Funktionen

    Ableitungsregeln

     

    Ableitungen werden dazu benötigt, um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu bestimmen. Dies wird unter dem Thema Kurvendiskussion näher beschrieben. Zudem können mit Ableitungen Tangentengelichungen aufgestellt werden, mehr dazu im Bereich Tangentengleichungen aufstellen.

    Beim Ableiten verringert man die Funktion um einen Grad, dass heißt aus einer Funktion 3. Grades wird ein 2. Grades.

    Wie leite ich ab?

    Der Exponent(Hochzahl) des Terms( Term ist z.B. x³) wird vor den Term geschrieben. Gleichzeitig wird die Hochzahl um 1 verringert. f(x) wird nach dem 1. Ableiten so geschrieben f'(x). Nach dem 2. Ableiten wird es so geschrieben f''(x). Nach dem 3. Ableiten wird es so geschrieben f'''(x). Es wird nicht öfter als dreimal abgeleitet.

    Beispiel:

    f(x) = x³

    f'(x) = 3x²

    f''(x) =3×2x = 6x

    f'''(x) = 6

    Additionsregel

    Befindet sich ein oder mehrere plus oder minus in der Funktion, muss jeder Term einzeln abgeleitet werden.

    Beispiel:

    f(x) = 4x4 +2x³

    f'(x) =4×4x³+2×3x²

    f'(x) =16x³+6x²

    Konstante Faktoren

    Unter konstanten Faktoren versteht man Zahlen die kein x haben z.B -1,-0,5,3… Alle Parameter z.B. t sind konstanterFaktor, da sie für eine Zahl stehen. Diese konstanten Faktoren fallen beim Ableiten weg.

     

    Beispiel 1:

    f(x) = x³+2

    f'(x) = 3x²

     

    Beispiel: 2

    f(x) = 4x³+3t+4

    f'(x) = 4×3x² = 12x²

     

     

    Ableiten mit Produktregel

     

    Ableiten mit Kettenregel

  • Produktregel Ableitung Beispiel Übungen Erklärung

    Produktregel

     

     

    Die Produktregel wird nur benutzt, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.

    f(x) = u(x)×v(x)                            u(x) und v(x) sind Funktionen(Fkt.)

    f'(x) = u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x)         da dass nicht jeder auf Anhieb versteht erkläre ich es ausführlicher

    f'(x) =            u'(x)                   ×                v(x)            +              u(x)              ×             v'(x)

    f'(x) = die abgeleitete Fkt u(x) wird  × die unabgeleitete Fkt v(x) + die unabgeleitete Fkt u(x) × die abgeleitete Fkt v(x)  gerechnet

     

    Produktregel  Beispiel 1:

    f(x) = x ×(x²+4)

    f'(x) = 1 × x +(x²+4) × 2x

     

    Produktregel  Beispiel 2:

    f(x) = (x³+x²)×(x²-6x)

    f'(x) = (3x²+2x) × (x²-6x) + (x³+x²)  × (2x-6)

    f'(x) = (3x4-18x³+2x³-12x²) + (2x4-6x³+2x³-6x²)

    f'(x) = 3x4-16x³-12x²+2x4-6x³+2x³-6x²

    f'(x) = 5x4-20x³-18x²

  • Kettenregel Ableitung Beispiel Übungen Erklärung

    Kettenregel

     

    Die Kettenregel wird benutzt, wenn in einer Klammer ein x steht und gleichzeitig die Klammer außerhalb eine Hochzahl hat. Zudem wird die Kettenregel bei e-Funktion, sinus-, cosinus-Funktionen verwendet.Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet und vor die gesamte Ableitungsfunktion geschrieben. Danach wird die innere Funktion abgeleitet und mit der äußeren Ableitung multipliziert.

     

    f(x) = (3x²+8)³

     

    Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht (hier die Hochzahl 3). Das wird so abgeleitet: f '(x) = 3(3x²+8)².

     

    Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht( hier die (3x²+8). So sieht es abgeleitet aus: f '(x) = 6x.

     

    Danach wird die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert.

    f '(x)=6x × 3(3x²+8)²

    f '(x)=18x(3x²+8)²

  • Monotonie Mathe – Monoton steigend, Monoton fallend

    Die Monotonie in der Mathematik

     

    Die Monotonie sagt aus, ob die Funktion in einem Bereich steigt oder fällt.

    Ist f '(x) ≤ 0 ist die Funktion monoton fallend. 

    Ist f '(x) ≥ 0 ist die Funktion monoton steigend.

    Ist f '(x) < 0 ist die Funktion streng monoton fallend. 

    Ist f '(x) > 0 ist die Funktion streng monoton steigend. 

    Bei der strengen Monotonie sind Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ausgeschlossen.

     

    Beispiel 1:

    Bestimme die Monotonie und die strenge Monotonie von f(x) = x² im x-Bereich [-4;4]

     

    Monotonie

     

     

    Im Bereich [-4;0] ist f '(x) ≤ 0 somit ist die Funktion monoton fallend. 

    Im Bereich [0;4] ist f '(x) ≥ 0 somit ist die Funktion monoton steigend.

    Im Bereich [-4;0[ ist f '(x) < 0 somit ist die Funktion streng monoton fallend. 

    Im Bereich ]0;4] ist f '(x) > 0 somit ist die Funktion streng monoton steigend.