Schlagwort: Monotonie

  • Monotonie bestimmen: Monoton steigend/fallend berechnen

    Als Monotonie bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten einer Funktion auf einem gewissen Intervall. Die Funktion kann dabei vier Zustände annehmen. Sie kann Streng monoton steigend sein.

    Monoton steigend

    Das heißt ihre Ableitung ist immer größer als null: Größer 0

    Monoton steigend sein.

    Das würde bedeuten dass ihre Ableitung im Intervall größer oder gleich null sein muss: größer 0

    Monoton fallend

    Monoton fallend sein. Dabei wäre ihre Ableitung im Intervall immer kleiner oder gleich null: kleiner 0

    Streng monoton fallend sein, wobei die Ableitung immer kleiner als null wäre: kleiner 0

    Um herauszufinden welcher dieser Fälle zutrifft müsste man die Ausgangsfunktion ableiten und prüfen, ob zwischen den Intervallgrenzen Nullstellen bestehen.

    Falls ja und, falls es welche mit Vorzeichenwechsel sind ist keiner der Fälle erfüllt. Falls es welche ohne Vorzeichenwechsel sind ist die Funktion nicht „streng“.

    Nun wäre zu prüfen ob die Ableitung im Intervall größer oder kleiner null ist und je nach dem wäre die Funktion monoton steigend oder fallend.

    Falls es allerdings keine Nullstellen im Intervall gibt ist die Funktion auf dem Intervall „streng“.

    Man müsste auch hier wieder über einen Beispielwert prüfen ob steigend oder fallend.

  • Monotonie Mathe – Monoton steigend, Monoton fallend

    Die Monotonie in der Mathematik

     

    Die Monotonie sagt aus, ob die Funktion in einem Bereich steigt oder fällt.

    Ist f '(x) ≤ 0 ist die Funktion monoton fallend. 

    Ist f '(x) ≥ 0 ist die Funktion monoton steigend.

    Ist f '(x) < 0 ist die Funktion streng monoton fallend. 

    Ist f '(x) > 0 ist die Funktion streng monoton steigend. 

    Bei der strengen Monotonie sind Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ausgeschlossen.

     

    Beispiel 1:

    Bestimme die Monotonie und die strenge Monotonie von f(x) = x² im x-Bereich [-4;4]

     

    Monotonie

     

     

    Im Bereich [-4;0] ist f '(x) ≤ 0 somit ist die Funktion monoton fallend. 

    Im Bereich [0;4] ist f '(x) ≥ 0 somit ist die Funktion monoton steigend.

    Im Bereich [-4;0[ ist f '(x) < 0 somit ist die Funktion streng monoton fallend. 

    Im Bereich ]0;4] ist f '(x) > 0 somit ist die Funktion streng monoton steigend.