Schlagwort: Binomialverteilung

  • Binomialverteilung einfach erklärt mit Beispiel und Übung

     

    P= (n über k) * p^k (1-p)^(n-k)

    Allgemeines zur Binomialverteilung

    Als eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    bietet die Binomialverteilung die Möglichkeit die Wahrscheinlichkeit
    von Erfolgen in einer Serie unabhängiger Versuche zu beschreiben.
    Die möglichen Ergebnisse eines Versuchs einer solchen Serie sind
    der "Erfolg" und der "Misserfolg".

    Die Formel der Binomialverteilung setzt sich aus der
    Erfolgswahrscheinlichkeit p, der Versuchsanzahl n und der
    Anzahl der Erfolge k zusammen.

    Veranschaulichung der Binomialverteilung durch das Galtonbrett

    Veranschaulichen lässt sich die Binomialverteilung durch einen
    Versuch mit dem sogenannten Galtonbrett. Hierbei handelt es sich um
    ein mit Hindernissen versehenes Brett, welches von einer bestimmten
    Anzahl von Kugeln durchlaufen wird, die schlussendlich in
    verschiedenen Fächern landen.

    Die durchlaufende Kugel trifft in der ersten Ebene auf ein Hindernis
    wobei eine 50:50 Chance besteht das die Kugel entweder nach links
    oder nach rechts abprallt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist demnach
    0,5. In der zweiten Ebene befinden sich 2 Hindernisse, jeweils
    eins links und eins rechts. Auch bei diesen Hindernissen hat die
    Kugel wie in der ersten Ebene eine 50:50 Chance entweder nach
    links oder nach rechts abzuprallen.

    Mit jeder Ebene nimmt die Anzahl der Hindernisse um 1 zu und
    die Wahrscheinlichkeit der Kugel in einem bestimmten Fach am
    Ende des Brettes zu landen halbiert sich. Jedoch nimmt die
    Wahrscheinlichkeit ein Fach in der Nähe der Mitte des Brettes
    zu treffen zu da es mehrere Möglichkeiten für die Kugel gibt dieses
    Feld zu erreichen. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit am geringsten
    eines der äußeren Fächer zu treffen.

     

    Binomialverteilung Beispiel

    Auf das Galtonbrett bezogenes Beispiel:

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das eine von 5 Kugeln bei
    einem Galtonbrett mit 4 Ebenen im äußersten rechten Fach landet.

    Ebenen: 4
    Anzahl Kugeln/Versuche: 5 = n
    Erfolgswahrscheinlichkeit: 0,5^4=0,0625 = p
    Anzahl Erfolge: 1 = k

    P = (5 über 1) * 0,0625^1 * (1-0,0625)^(5-1)

    P = 0,2413988 = 24%

    Antwort: Die Chance, dass bei einem Galtonbrett mit 4 Ebenen
    eine von 5 Kugeln im äußersten rechten Fach landet ist 24%.
     

    Binomialverteilung Beispiel 2

    Auf Poker bezogenes Beispiel

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Pokerspiel mit
    insgesamt 52 Karten beim Ziehen einer Karte 3 der 4 Asse bei
    10 Versuchen zu ziehen.

    Wichtig um die Anwendbarkeit der Binomialverteilung zu garantieren
    ist, dass es nur zwei Ergebnisse gibt. Den Erfolg, also das Ziehen
    eines Ass und den Misserfolg, also das Ziehen einer Karte die kein
    Ass ist. Auch müssen die Versuche unabhängig voneinander sein, weswegen
    man nach jedem Versuch die gezogene Karte wieder zurückstecken muss.

    Andernfalls würde sich die Erfolgswahrscheinlichkeit verändern, da die
    Anzahl der Karten abnimmt.

    Anzahl Versuche: 10 = n
    Erfolgswahrscheinlichkeit: 4 von 52 = 1/13 = p
    Anzahl Erfolge: 3 = k

    P = (10 über 3) * (1/13)^3 * (1-(1/13))^(10-3)

    P = 0,03119 = 3%

    Antwort: Die Chance, dass beim 10maligen Ziehen einer Karte aus
    einem Stapel Pokerkarten genau 3 Asse gezogen werden beträgt 3%.