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Kategorie: S-Mathe

  • Cosinus Funktion – bestimmen, zeichnen, ableiten

    Die Cosinus Funktion

     

    Cosinus-Funktion: f(x) = cos(x)

     

     

    cosinus funktion

     

    Der Temperaturverlauf, die Sonnenstunden und die Sichtbarkeit des Mondes wird in Form einer Sinus-Funktion  dargestellt. 

     

    Allgemeine Cos-Funktion: f(x) = a cos(b(x – c)) + d

     

    a = Amplitude

     

    b = ensteht durch die Periode

     

    c = Verschiebung entlang der x-Achse

     

    d = Verschiebung entlang der y-Achse

     

    Die Berechnung von a, b, c und d liegt auf Links, auf denen  a-d mit einer sinus-Funktionen berechnet wird.

     

    Jedoch ist die Formel, welche für a, b, c und d benötigt wird für sinuns- und cosinus-Funktionen die gleiche.

     

    Deshalb macht es keinen Unterschied, ob a-d mit sinus- oder cosinus-Funktionen berechnet wird.

  • Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie)

    Symmetrie zum Ursprung

    Die Symmetrie zum Ursprung wird auch ungerade Symmetrie genannt, weil bei einer ungeraden Symmetrie alle Hochzahlen von x ungerade sind. Befindet sich eine Zahl ohne x in der Funktion ist diese auch als gerade zu werten, selbst wenn die Zahl ungerade ist. An den ungeraden Hochzahlen erkennt man die gerade Symmetrie (Symmetrie zur y-Achse). 


    Zudem kann die ungerade Symmetrie mit folgender Formel geprüft werden:

    f(-x) = -f(x)



    Symmetrie zum Ursprung Beispiel:

    f(x) = -x³+2x

    Anhand der ungeraden Hochzahlen(Exponenten) fällt bereits auf, dass es sich hierbei um eine ungerade Symmetrie handelt. Dies lässt sich auch mit folgender Formel nachprüfen:

    f(-x) = -f(x)                              

    -(-x)³+2(-x) = – (-x³+2x)                  Einsetzen eines beliebigen x-Werts x = 1

    -(-1)³ + 2 × -1 =-(-(1)³ + 2 × 1)

    1+(-2) = -(-1 +2)

    1 – 2 = -(-1 + 2)

    1 = -(1)

    1 = 1


    Da das gleiche Ergebnis herauskommt ist es eine ungerade Symmetrie. Dies zeigt auch das Schaubild der Funktion f(x) = -x³+2x, da die Funktiom am Ursprung gespiegelt wird.


    Symmetrie zum Ursprung

  • Sinus, Cosinus richtig ableiten, Ableitungen Regeln

    Wenn sin (x) abgeleitet wird so ergibt das cos(x). Wird cos(x) abgeleitet ist das Ergebnis -sin(x). Die Ableitung von -sin(x) ist -cos(x). Wird -cos(x) abgeleitet wird, so ist das Ergebnis wieder sin(x). Aus diesem Grund kann man die Ableitung von sinus- und cosinus-Funktionen in Form eines Kreises darstellen. Jeder Pfeil auf dem unteren Bild steht für einmal ableiten.


    sinus cosinus ableiten


     

     

    Zudem ist bei ableiten von Sinus- und Cosinus-Funktion die Kettenregel anzuwenden. .Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet und  mit der inneren Ableitung multipliziert.

    Beispiel 1:

    f(x) = sin(4x² – 3)

    Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht (hier sin). Das wird so abgeleitet (siehe Kreis oben): f '(x) = cos(4x² – 3).

    Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht( hier die (4x²-3). Das wird folgendermaßen abgeleitet: f '(x) = 8x.

    Danach wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.

    f '(x) = 8xcos(4x² – 3).

    Beispiel 2:

    f(x) = 2cos(-4x² – 3)

    Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht, hier cos. Das wird so abgeleitet (siehe Kreis oben): f '(x) = 2-sin(-4x² – 3). Dies wird so geschrieben: f '(x) = -2sin(-4x² – 3)

    Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht, hier die (-4x²-3). Das wird folgendermaßen abgeleitet: f '(x) = -8x.

    Danach wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.

    f '(x) = -8x × -2sin(-4x² – 3)

    Da minus und minus plus ergibt, wird die so geschrieben: f '(x) = 16xsin(-4x² – 3)