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Kategorie: S-Mathe

  • Punktprobe, Gerade, Beispiel, Erklärung

    Die Punktprobe


    Mit Hilfe der Punktprobe wird überprüft, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt.

     

    Wie macht man die Punktprobe? 

     

    Bei der Punktprobe wird der x-Wert des Punktes in die Funktion eingesetzt.

     

    Wahre Aussage

     

    Stimmt der errechnete y-Wert mit dem y-Wert des Punktes überein, so liegt der Punkt auf der Funktion. Dies nennt man eine wahre Aussage (w.A.).

    Beispiel:

    Überprüfe, ob der Punkt P(2/0) auf der Funktion f(x) = o,5x²-3x+4 liegt.

    Der x-Wert 2 wird in die Funktion eingesetz:

    f(2) = o,5 × 2²-3 × 2+4

    f(2) = 2-6+4

    f(2) = 0

    Das Ergebnis ist y=o und stimmt daher mit dem y-Wert 0 des Punktes P überein. Deshalb liegt der Punkt P auf der Funktion (wahre Aussage).

    Falsche Aussage

    Stimmt der errechnete y-Wert mit dem y-Wert des Punktes nicht überein, so liegt der Punkt nicht auf der Funktion. Dies nennt man eine falsche Aussage (f.A.).

    Überprüfe, ob der Punkt P(0/1,5) auf der Funktion f(x) = o,5x²-3x+4 liegt.

    Der x-Wert 0 wird in die Funktion eingesetz:

    f(0) = o,5×0²-3×0+4

    f(0) = 4

    Das Ergebnis ist y=4 und stimmt daher nicht mit dem y-Wert 1,5 des Punktes P überein. Deshalb liegt der Punkt P nicht auf der Funktion (falsche Aussage).

     

  • Der Satz vom Nullprodukt Beispiel Erklärung

    Der Satz vom Nullprodukt Beispiel Erklärung Aufgaben

     
     
    Der Satz vom Nullprodukt wird dazu benötigt um Nullstellen durch das auflösen von Gleichunge zu erhalten.
     

    Satz vom Nullprodukt Beispiel 1:

     
    f(x)=x²-x        f(x)=0
    0=x²-x            Jetzt kann x ausgeklammert werden.
    0=x(x-1)         Wenn das x vor der Klammer 0 ist, ist der ganze Ausdruck gleich 0.
    0=0(x-1)
    0=0                  Somit ist Gleichung ausgeglichen, deshalb ist x1=0
    0=(x-1)   I +1   Trotzdem ist das andere x aus der Klammer noch vorhanden
    x2=1
     
    Nullstellen bei NS1(0/0),NS2(1/0)
     

    Satz vom NullproduktBeispiel 2:

     

    f(x)=x³-x²      f(x)=0
    0=x³-x²          x² kann ausgeklammert werden
    0=x²(x-1)        Wenn das x² vor der Klammer o ist, ist der ganze Ausdruck gleich 0
    x1,2=0
    0=(x-1)   I +1
    x3=1
     
    Nullstellen bei NS1,2(0/0),NS3(1/0)

  • Diskriminante Mitternachtsformel, Bedeutung, O, negativ, positiv

    Diskriminante Mitternachtsformel


    Die Diskriminante ist das, was bei bei beiden Formeln unter der Wurzel steht.
    PQ Formel:
    diskriminante pq formel
    Die Diskriminante ist D=(p/2)²-q oder D=p²/4-q

    abc Formel:
    mitternachtsformel diskriminante
    Die Diskriminante ist D=b²-4ac

    Bedeutung der Diskriminante

    Ist die Diskriminante größer als 0 hat die Funktion zwei Lösungen.
    Ist die Diskriminante gleich 0 hat die Funktion eine Lösung.
    Ist die Diskriminante kleiner als 0 hat die Funktion keine Lösung im reellen Zahlenbereich.
     
     

  • Wurzel ableiten, Wurzeln Ableitung Regeln Aufgaben Übungen

    Ableiten von Wurzeln (Ableitung)


    Beim Ableiten der zweiten Wurzeln (normale Wurzel) wird zuerst die Wurzel durch die Hochzahl ½ ersetzt. Die vierte Wurzel wird mit der Hochzahl ¼ ersetzt.
     

    Wurzeln ableiten Beispiel 1:

     
    Nun muss die Kettenregel angewandt werden. Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet und vor die gesamte Ableitungsfunktion geschrieben. Danach wird die innere Funktion abgeleitet und mit der äußeren Ableitung multipliziert.
     

    Wurzeln ableiten Beispiel 2:

     
    ableitung wurzeln
     
    Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht, hier die Hochzahl 0,5. Die 0,5 wird um 1 verringert, somit heißt es -0,5 und vor die Funktion geschrieben. Das Ergebnis ist:
    wurzeln ableiten
     
    Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht hier die, (x²-3). So sieht dies abgeleitet aus: f '(x) = 2x.
    Danach wird die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert.
    wurzeln ableiten
     

  • e-Funktion ableiten, Ableitung, Aufgaben, Übungen

     

    Wenn e-Funktionen abgeleitet werden ergeben sie sich selbst.


    e Funktion ableiten Beispiel 1:


    f(x) = ex
    f '(x) = ex
     
    Steht ein minus vor dem x in der Hochzahl so wird dies vor die Funktion geschrieben.

    e Funktion ableiten Beispiel 2

    f (x) = e-x

    f '(x) = -e-x

    Enthält die Hochzahl mehr als nur x, muss die Kettenregel angewandt werden. Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet . Danach wird die innere Funktion abgeleitet und mit der äußeren Ableitung multipliziert.


    e Funktion ableiten Beispiel 3


    E Funktion ableitung

    Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was bei der e-Funktion nicht in der Hochzahl, steht hier e. Das wird so abgeleitet: f '(x) = e.

    Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was bei der e-Fkt. in der Hochzahl steht, hier die -x² -3x + 4. So wird dies abgeleitet: f '(x) = -2x – 3.

    Danach wird die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert.

      

    ACHTUNG FEHLER IN DER ZEICHNUNG UNTEN!! es sind -2x und keine -2x2!!!!

    e funktion ableiten

  • Mitternachtsformel (ABC-Formel), Beispiel, Aufgaben, Erklärung

    Mitternachtsformel (ABC-Formel)


    dies ist die Formel der Mitternachtsformel:

    Mitternachstformel


    a ist die Zahl welche vor x² steht, da es auch 1x² heißen kann ist a=1.

    b ist die Zahl mit dem x, deshalb ist b=4. c ist die Zahl ohne x, somit ist c=1.


    Mitternachtsformel beispiel


    Die Funktion f(x) = x²+4x+1 hat folgende Nullstellen NS1(-3,73/0) und NS2(-0,27/0).

     

    Unterschied zwischen pq- und abc-Formel:

     

    Die Anwendung der pq-Formel ist einfacher.

    Bei der PQ Formel jedoch muss es immer x² heißen, um sie anwenden zu können, bei der abc-Formel hingegen kann es auch -0,4x²  und sie kann ohne Probleme angewandt werden.

  • Sinus Funktion Verschiebung auf y-Achse

    Sinus Funktion Verschiebung auf y-Achse

     

    Die Verschiebung entlang der y-Achse d einer Sinus-Funktion wird mit Hilfe des Durchschnitts errechnet. Die Formel lautet-

    d = (y-Wert des Hochpunktes + y-Wert des Tiefpunktes) : 2

    Beispiel:

    Bestimme die Verschiebung entlang der y-Achse.

    verschiebung y achse

    Abgelesener Hochpunkt: (½Π/1), Abgelesener Tiefpunkt: (½Π/-1). Die y-Werte der Punkte werden in folgende Formel eingesetzt:

    d = (y-Wert des Hochpunktes + y-Wert des Tiefpunktes) : 2

    d = (1 – 1)

    d = 0

    Die Verschiebung entlang der y-Achse beträgt 0, daher liegt keine Verschiebung der Sinus-Funktion entlang der y-Achse vor.

  • Periode Mathematik berechnen, Definition, Hochpunkt, Tiefpunkt

    Periode

    Die Periode p ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hoch- oder Tiefpunkten.

    Periode Mathematik

    Periode Berechnung:

    p = x-Wert des Hochpunkts2 – x-Wert des Hochpunkts1

    Hochpunkt2 bedeutet, dass dieser Hochpunkt2 nach dem Hochpunkt1 kommt. Somit ist der x-Wert des Hochpunkts2 größer als der des Hochpunkts1. Außerdem ist die Periode immer positiv.

    Beispiel:

    Berechnung der Periode der sich im Graph befindenden Sinus-Funktion. Abgelesene Hochpunkte: HP1(-1,5Π/1) und HP2(0,5Π/1).

    Einsetzen der HPs in folgende Formel:

    p = x-Wert des Hochpunkts2 – x-Wert des Hochpunkts1

    p = 0,5Π – (-1,5Π)

    p = 0,5Π + 1,5Π

    p = 2Π

    Die Periode ist 2Π.

    Streckung entlang der x-Achse einer Sinus-Funktion

    Die Streckung b entlang der x-Achse einer Sinus-Funktion wir mit folgender Formel errechnet:

    b = 2Π : Periode

    Beispiel:

    Berechnung der Streckung entlang der x-Achse der Sinus- Funktion, die sich oben im Graphen befindet. Die Periode ist 2Π.

    Einsetzten der Periode in folgender Formel:

    b = 2Π : Periode

    b = 2Π : 2Π

    b = 1

    Die Streckung entlang der x-Achse ist 1. Das ist die normale Streckung einer Sinus-Funktion, die sin(x) lautet.

  • Die Sinus Funktion bestimmen, zeichnen, ableiten, Nullstellen

    Die Sinus Funktion

     

    Sinus-Funktion: f(x) = sin(x)

    Sinus Funktion

    Der Herzschlag verläuf wie eine Sinuskurve 

    Allgemeine Sin-Funktion: f(x) = a sin(b(x-c))+d

    a = Amplitude

    b = ensteht durch die Periode

    c = Verschiebung entlang der x-Achse

    d = Verschiebung entlang der y-Achse

  • Die Amplitude berechnen, bestimmen, Definition, Formel

    Die Amplitude

    Die Amplitude a ist die Hälfte der Strecke von Hoch- zu Tiefpunk.

    Berechnung: a = (y Hochpunkt – y Tiefpunkt):2 . Das Ergebins ist immer positiv.

    Wenn die Amplitude größer als 1 ist, vergrößert sich der Abstand von Hoch- zu Tiefpunkt. Wenn die Amplitude kleiner als 1 ist, verkleinert sich der Abstand von Hoch- zu Tiefpunkt.

    Beispiel: Bestimme die Amplitude.

    Amplitude

    Vom Schaubild abgelesen: Hochpunkt y = 2 ; Tiefpunkt y = -2

    Rechnung:

    a = (y Hochpunkt – y Tiefpunkt):2     I   Hoch- und Tiefpunkt einsetzten

    a = (2-(-2)):2

    a = 2

    Die Amplitude ist 2.