Kategorie: mathe

Monotonie bestimmen: Monoton steigend/fallend berechnen

Als Monotonie bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten einer Funktion auf einem gewissen Intervall. Die Funktion kann dabei vier Zustände annehmen. Sie kann Streng monoton steigend sein.

Monoton steigend

Das heißt ihre Ableitung ist immer größer als null:

Monoton steigend sein.

Das würde bedeuten dass ihre Ableitung im Intervall größer oder gleich null sein muss:

Monoton fallend

Monoton fallend sein. Dabei wäre ihre Ableitung im Intervall immer kleiner oder gleich null:

Streng monoton fallend sein, wobei die Ableitung immer kleiner als null wäre:

Um herauszufinden welcher dieser Fälle zutrifft müsste man die Ausgangsfunktion ableiten und prüfen, ob zwischen den Intervallgrenzen Nullstellen bestehen.

Falls ja und, falls es welche mit Vorzeichenwechsel sind ist keiner der Fälle erfüllt. Falls es welche ohne Vorzeichenwechsel sind ist die Funktion nicht „streng“.

Nun wäre zu prüfen ob die Ableitung im Intervall größer oder kleiner null ist und je nach dem wäre die Funktion monoton steigend oder fallend.

Falls es allerdings keine Nullstellen im Intervall gibt ist die Funktion auf dem Intervall „streng“.

Man müsste auch hier wieder über einen Beispielwert prüfen ob steigend oder fallend.

31. März 2012
Linkskrümmung und Rechtskrümmung berechnen, Bedinungen und Beispiel

Dieser Artikel setzt an folgenden Artikel an: Wendestellen bestimmen

Wir haben bereits die Wendestellen bestimmt:

Nun haben wir also bei x1 und x2 Wendestellen. Wenn uns nun noch interessiert ob wir von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder andersherum müssen wir noch die dritte Ableitung bestimmen und in diese x1 und x2 einsetzen. Wenn der Wert kleiner 0 ist gehen wir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve, falls er größer 0 ist von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

31. März 2012
Wendestellen bestimmen und berechnen – Beispiel und Erklärung

Wendestellen sind Stellen an denen die Funktion die maximale bzw. minimale Steigung hat, d.h. auch dass sie an Wendestellen von einer Rechts- bzw. Linkskurve in eine Links- bzw. Rechtskurve „wendet“ daher auch der Name.

Die notwendige Bedingung an Wendestellen ist dass die zweite Ableitung gleich 0 sein muss und die dritte Ableitung ungleich 0. Als Funktion nehmen wir die aus dem vorherigen Beispiel:

Wendestellen bestimmen und berechnen Beispiel

31. März 2012
Ableitungsregeln: Richtig ableiten lernen – Beispiele

Die Ableitungsfunktion ist die Ableitung einer Funktion an einer variablen Stelle. Wir haben also die Steigung an jeder Stelle der Funktion. Das ist sehr praktisch und man braucht es eben für einige Aufgaben.

WIe erhalte ich eine Ableitung?

Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion aus der normalen Funktion gibt es einige Regeln, die zu befolgen sind, sodass man die Ableitung erhält.

1.) Potenzregel Beispiel

Beim Ableiten wird die Hochzahl der Variable davor geschrieben. Anschließend wird die Hochzahl um eins verringert:

2.) Summenregel Beispiel

Zwei Summanden werden getrennt voneinander abgeleitet. Wenn zwei Funktionen addiert werden, wird jede allein abgeleitet:

3.) Produktregel Beispiel

Beim Ableiten von zwei Funktionen die mit einander multipliziert werden, muss man nach einer fixen Regel vorgehen.

4.) Quotientenregel Beispiel

Beim Ableiten von zwei Funktionen die durcheinander dividiert werden, geht es auch nach einer fixen Regel.

5.) Kettenregel Beispiel

Wenn zwei Funktionen verkettet sind geht’s auch nach einer bestimmten Regel:

6.) Sonstige Regeln Beispiel

Es gibt noch ein paar andere Funktionen, die eine eigene Ableitung haben:

Wurzeln ableiten

e-Funktion ableiten

Sinus, Cosinus ableiten

So, mit diesen Ableitungsregeln sollte es das richtige Ableiten jetzt kein Problem mehr werden.

31. März 2012
Tangentengleichung bestimmen und mit GTR berechnen

Tangenten schneiden eine Figur oder Funktion in einem Punkt und haben dabei dieselbe Steigung wie die Funktion selber in diesen Punkt hat. Das führt dazu, dass die Tangente die Funktion im näheren Umfeld nur einmal schneidet.

Tangentengleichung bestimmen:

Zur Bestimmung einer Tangente hilft die :
Tangentengleichung liefert die Tangente im Punkt
Abbildung oben den Punkt P(1/1) . Nun brauchen wir noch die Steigung in dem Punkt (), diese ist wie aus obiger Rechnung bekannt . Setzen wir also alles einmal in die Tangentengleichung ein:

Tangente mit GTR bestimmen

Zur Bestimmung einer Tangente
mit dem GTR muss zunächst die
Funktion im „y=-Editor“
eingeben um sie zeichnen zu
lassen. Die gezeichnete Funktion
lässt man sich dann über Klick
auf „Trace“ anzeigen. Um die
Tangente zu berechnen drückt man *2nd++*PRGM+, sodass man ins „Draw“-Menü kommt (Abbildung oben). Im sich öffnenden Menü findet man als 5. Menüpunkt „Tangent“. Diese Funktion wählen wir und dadurch kommen wir wieder in die Anzeige. Dort können wir dann den x-Wert eingeben, bei dem wir die Tangente haben wollen (also 1). Daher drücken wir [1]+[Enter]. Dann wird die Tangente eingezeichnet und unten wird die Gleichung angezeigt.

31. März 2012
Nullstellen berechnen bzw. bestimmen Tipps und Beispiele

Die Nullstellen eines Graphen lassen sich nicht auf eine universell gültige Weise bestimmen – es sind häufig andere Hilfsformeln nötig die immer mehr oder weniger schwierig sind.

Was jedoch immer gilt ist dass die Funktion gesetzt werden muss. Danach muss man auch immer die Funktionsgleichung nach auflösen – allerdings geschieht dies oft auf eine andere Art und Weise. Die evtl. anwendbaren Verfahren sind hier nach der Einfachheit sortiert – angefangen beim einfachsten, aufgehört beim kompliziertesten.

Allgemein gilt übrigens, dass eine Funktion maximal so viele Nullstellen haben kann wie hoch ihr Grad ist!

1.) Umformen der Formel

Es kann Funktionsgleichungen geben, bei denen man durch einfaches Umformen auf die Lösung kommen kann. Eine Funktion bei der dies anwendbar wäre ist zum Beispiel f(x)=x^2-4 . Hierbei

lässt sich diese Funktion auf einfache Weise nach x auflösen:

Achtung: Beim Ziehen der Wurzel wie in diesem Fall ist immer zu beachten, dass das sowohl positiv als auch negativ sein könnte um die Gleichung zu erfüllen!

2.) Ausklammern

Bei allen Funktionen die keine Konstante (d.h. keinen Wert ohne X haben) lässt sich etwas ausklammern. Die auszuklammernde Variable ist dabei meistens X . Ein Funktionsbeispiel hierfür wäre die Funktion f(x)=x^2-4 .

Nun haben wir zwei Faktoren. Einmal x und einmal (x-4) und es ist logischerweise egal welcher von beiden ist. Von daher können wir die Linearfaktoren als getrennte Funktionen betrachten, deren Nullstellen jeweils den Nullstellen der Ausgangsfunktion entsprechen:

Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei 0 und eine bei 4 .

3.) Mitternachtsformel oder ABC Formel

Die ABC- oder Mitternachtsformel lässt sich generell bei Gleichungen der Form

anwenden, also bei quadratischen Gleichungen. Ein Beispiel hierfür könnte unter anderem die Funktion . Allerdings müsste man bei dieser Funktion zunächst

ausklammern. Dieses Beispiel soll auch zeigen, dass häufig Kombinationen aus den verschiedenen Methoden nötig sind:

Als erste Nullstelle haben wir nun selbstverständlich x=0 aus dem Linearfaktor x. Aus dem zweiten Linearfaktor (2x^2+4x+2) können wir nun mithilfe der Mitternachtsformel die weiteren

Nullstellen bestimmen. Die Mitternachtsformel lautet , wobei a die Zahl vor dem x^2 ist b, die Zahl vor x ist sowie c die Konstante ist. Also:

Die zweite Nullstelle ist also x= -1. Eine dritte Nullstelle existiert bei dieser Funktion nicht, da unter der Wurzel 0 steht.

4.) PQ Formel

Zur PQ Formel haben wir hier einen ausführlichen Artikel: PQ Formel Erklärung

5.) Substitution

Die Substitution ist das komplizierteste Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden bestimmte Potenzen von x durch eine Variable zunächst ersetzt. Dann wird nach dieser Variable aufgelöst und es wird wieder in die Ausgangsvariable übersetzt. Das ist so ohne Beispiel schwer zu verstehen. Eine Beispielfunktion wäre .

Hierbei könnte man x^2=z setzen, dann hätte man für die Funktion nur noch was wiederum eine Funktion wäre die man mit der Mitternachtsformel auflösen könnte:

So jetzt kennt ihr viele Möglichkeiten um Nullstellen zu berechnen bzw. zu bestimmen, wählt die aus, die euch am leichtesten fällt.

31. März 2012
Waagerechte Asymptote bestimmen und berechnen, Beispiel

Waagerechte Asymptoten erhalten wir vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen. Vereinfacht gesagt bei Funktionen die über und unter dem Bruchstrich ein stehen X haben.

Bei diesen gebrochenrationalen Funktionen haben sowohl Zählerfunktion (die Funktion über dem Bruchstrich) als auch Nennerfunktion (die Funktion unter dem Bruchstrich) einen bestimmten Grad. Der Grad ist die höchste Potenz der jeweiligen Funktion.

Waagerechte Asymptote Beispiel

Falls jetzt der Grad der Zählerfunktion kleiner ist als der Grad der Nennerfunktion dann nähert sich die Funktion der x-Achse an. Als waagerechte Asymptote haben wir dann die x-Achse, also die Gleichung y=0 .

Ist der Grad der Zählerfunktion gleich dem Grad der Nennerfunktion so erhalten wir eine waagerechte Asymptote. Haben wir also die Funktion…

…haben wir zweimal den gleichen Grad und damit eine waagerechte Asymptote. Um nun rauszufinden wo diese liegt lässt man laufen. Dabei werden immer alle Teile

abgesehen von den höchsten Potenzen zunehmend unerheblich. Aus unserer Funktion wird also folgendes:

Durch kürzen erhalten wir am Ende 2 und dort liegt auch unsere waagerechte Asymptote bei y=2.

Dieser nähert sich der Graph von f(x) an. Funktionen haben für gewöhnlich nur eine waagerechte Asymptote.

31. März 2012
Binomialverteilung einfach erklärt mit Beispiel und Übung

P= (n über k) * p^k (1-p)^(n-k)

Allgemeines zur Binomialverteilung

Als eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
bietet die Binomialverteilung die Möglichkeit die Wahrscheinlichkeit
von Erfolgen in einer Serie unabhängiger Versuche zu beschreiben.
Die möglichen Ergebnisse eines Versuchs einer solchen Serie sind
der "Erfolg" und der "Misserfolg".

Die Formel der Binomialverteilung setzt sich aus der
Erfolgswahrscheinlichkeit p, der Versuchsanzahl n und der
Anzahl der Erfolge k zusammen.

Veranschaulichung der Binomialverteilung durch das Galtonbrett

Veranschaulichen lässt sich die Binomialverteilung durch einen
Versuch mit dem sogenannten Galtonbrett. Hierbei handelt es sich um
ein mit Hindernissen versehenes Brett, welches von einer bestimmten
Anzahl von Kugeln durchlaufen wird, die schlussendlich in
verschiedenen Fächern landen.

Die durchlaufende Kugel trifft in der ersten Ebene auf ein Hindernis
wobei eine 50:50 Chance besteht das die Kugel entweder nach links
oder nach rechts abprallt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist demnach
0,5. In der zweiten Ebene befinden sich 2 Hindernisse, jeweils
eins links und eins rechts. Auch bei diesen Hindernissen hat die
Kugel wie in der ersten Ebene eine 50:50 Chance entweder nach
links oder nach rechts abzuprallen.

Mit jeder Ebene nimmt die Anzahl der Hindernisse um 1 zu und
die Wahrscheinlichkeit der Kugel in einem bestimmten Fach am
Ende des Brettes zu landen halbiert sich. Jedoch nimmt die
Wahrscheinlichkeit ein Fach in der Nähe der Mitte des Brettes
zu treffen zu da es mehrere Möglichkeiten für die Kugel gibt dieses
Feld zu erreichen. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit am geringsten
eines der äußeren Fächer zu treffen.

Binomialverteilung Beispiel

Auf das Galtonbrett bezogenes Beispiel:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das eine von 5 Kugeln bei
einem Galtonbrett mit 4 Ebenen im äußersten rechten Fach landet.

Ebenen: 4
Anzahl Kugeln/Versuche: 5 = n
Erfolgswahrscheinlichkeit: 0,5^4=0,0625 = p
Anzahl Erfolge: 1 = k

P = (5 über 1) * 0,0625^1 * (1-0,0625)^(5-1)

P = 0,2413988 = 24%

Antwort: Die Chance, dass bei einem Galtonbrett mit 4 Ebenen
eine von 5 Kugeln im äußersten rechten Fach landet ist 24%.

Binomialverteilung Beispiel 2

Auf Poker bezogenes Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Pokerspiel mit
insgesamt 52 Karten beim Ziehen einer Karte 3 der 4 Asse bei
10 Versuchen zu ziehen.

Wichtig um die Anwendbarkeit der Binomialverteilung zu garantieren
ist, dass es nur zwei Ergebnisse gibt. Den Erfolg, also das Ziehen
eines Ass und den Misserfolg, also das Ziehen einer Karte die kein
Ass ist. Auch müssen die Versuche unabhängig voneinander sein, weswegen
man nach jedem Versuch die gezogene Karte wieder zurückstecken muss.

Andernfalls würde sich die Erfolgswahrscheinlichkeit verändern, da die
Anzahl der Karten abnimmt.

Anzahl Versuche: 10 = n
Erfolgswahrscheinlichkeit: 4 von 52 = 1/13 = p
Anzahl Erfolge: 3 = k

P = (10 über 3) * (1/13)^3 * (1-(1/13))^(10-3)

P = 0,03119 = 3%

Antwort: Die Chance, dass beim 10maligen Ziehen einer Karte aus
einem Stapel Pokerkarten genau 3 Asse gezogen werden beträgt 3%.

21. Dezember 2011
Ortskurve berechnen bzw. bestimmen – Beispiel + Erklärung

In diesem Artikel erkläre ich euch wie man die Ortskurve der Extremwerte bzw. Wendepunkte berechnet und was dabei zu beachten ist.

Zunächst einmal müssen wir unterscheiden zwischen der Ortskurve der Extremwerte, sprich Hochpunkt und Tiefpunkt, und Ortskurve der Wendepunkte.

Ortskurve der Extremwerte Anleitung

– 2mal ableiten

– erste Ableitung 0 setzen

– Ergebnis in zweite Ableitung —> überprüfen ob Extremwert überhaupt vorliegt

– X Wert des Hochpunkt bzw. Tiefpunkt in ursprüngliche Formel einsetzen

– nach Parameter umstellen

– Parameter in Y Wert einsetzen

Ortskurve der Wendepunkte Anleitung

– 3mal ableiten

– zweite Ableitung 0 setzen

– überprüfen ob Wendepunkt überhaupt vorliegt

– X Wert des Wendepunkt in ursprüngliche Formel einsetzen

– nach Parameter umstellen

– Parameter in Y Wert einsetzen

Ortskurve der Extremwerte Beispiel

f(x) = x²+tx+3

f´(x) = 2x + t

f"(x) = 2

f´(x) = 0

2x + t = 0

x = -0,5t

f"(-0,5t) = ungleich 0 —> Extremwert vorhanden

-0,5t in f(x)

f(-0,5)= (-0,5t)² + (-0,5t)*t + 3

f(-0,5x) = -0,5t² + 3

Extrempunkt = (-0,5t/-0,5t² + 3)

x = -0,5t

t = -2x

t in y Wert

y = -2*(-0,5x)² + 3

Ortskurve y= -0,5x² + 3

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Analysis Übersicht

19. Dezember 2011
Zentralwert / Median in Mathe berechnen (Beispiele)

In diesem Artikel geht es um den Zentralwert, der auch Median genannt wird. Wir erklären euch anhand einiger Beispiele wie man ihn berechnet.

Der Zentralwert ist die Zahl, die in der Mitte einer Zahlenreihe steht, jetzt gibt es einige Beispiele:

Zentralwert berechnen Beispiel 1

In einem Gewichtheberteam können die Teammitglieder verschieden schwere Gewicht heben: 120kg, 110kg, 109kg, 150kg und 185kg. Als allerstes bringen wir die Zahlen einmal in die richtige Reihenfolge: 109, 110, 120, 150 und 185. Wir sehen es gibt 5 Zahlen, die Mitte dieser 5 Zahlen wäre als die 3te Zahl, denn dann wären 2 kleiner und 2 größer. Die 3te Zahl in dieser Zahlenreihe heißt 120, was auch der Zentralwert ist.

Zentralwert berechnen Beispiel 2

Bei einem Tennisturnier kommen 6 Mitglieder verschieden weit: 1 Runde, 2 Runde, 3 Runde, 4 Runde, 5 Runde und 6 Runde. Dies sind 6 Zahlen, es gibt also keine mittlere Zahl, deswegen müssen wir die 2 mittlersten Zahlen nehmen, also 3 und 4. Diese addieren wir und teilen durch 2. Der Zentralwert ist 3,5. 2 Zahlen werden immer bei einer runden Gesamtanzahl von verschiedenen Zahlen genommen.

Bei Fragen zur Berechnung des Zentralwerts einfach ein Kommentar unten hinterlassen.

18. Dezember 2011