Wenn sin (x) abgeleitet wird so ergibt das cos(x). Wird cos(x) abgeleitet ist das Ergebnis -sin(x). Die Ableitung von -sin(x) ist -cos(x). Wird -cos(x) abgeleitet wird, so ist das Ergebnis wieder sin(x). Aus diesem Grund kann man die Ableitung von sinus- und cosinus-Funktionen in Form eines Kreises darstellen. Jeder Pfeil auf dem unteren Bild steht für einmal ableiten.
Zudem ist bei ableiten von Sinus- und Cosinus-Funktion die Kettenregel anzuwenden. .Bei der Kettenregel wird die äußere Funktion zuerst abgeleitet und mit der inneren Ableitung multipliziert.
Beispiel 1:
f(x) = sin(4x² – 3)
Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht (hier sin). Das wird so abgeleitet (siehe Kreis oben): f '(x) = cos(4x² – 3).
Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht( hier die (4x²-3). Das wird folgendermaßen abgeleitet: f '(x) = 8x.
Danach wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.
f '(x) = 8xcos(4x² – 3).
Beispiel 2:
f(x) = 2cos(-4x² – 3)
Bei der äußeren Ableitung wird das betrachtet, was außerhalb der Klammer bei f(x) steht, hier cos. Das wird so abgeleitet (siehe Kreis oben): f '(x) = 2-sin(-4x² – 3). Dies wird so geschrieben: f '(x) = -2sin(-4x² – 3)
Bei der inneren Ableitung, wird das betrachtet, was innerhalb der Klammer bei f(x) steht, hier die (-4x²-3). Das wird folgendermaßen abgeleitet: f '(x) = -8x.
Danach wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multipliziert.
f '(x) = -8x × -2sin(-4x² – 3)
Da minus und minus plus ergibt, wird die so geschrieben: f '(x) = 16xsin(-4x² – 3)
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